[ resolución gráfica 1920 X 1080 ]

La Puerta de la Academia

        La rehabilitación del sistema de medidas castellanas, y la confianza en un modelo matemático exacto, han sido las claves  para recuperar el mensaje interno de Las Meninas.

Si calificásemos a esta pintura como ejemplo de gran invención se deduciría de su autor el fruto y provecho de sus saberes, y que, al igual que Fidias en la escultura, hizo del guarismo la pauta de su estilo naturalista.

El número, como principio omnipresente en el Universo, ordena el arte de Las Meninas.

A finales del siglo XV, Luca Pacioli en su libro DE DIVINA PROPORTIONE [1], título que hace referencia a la proporción del número áureo, escribe:

A pesar de que Velázquez confirme en esta obra de arte su interés por todo tipo de efecto lumínico, la finalidad de esta investigación es establecer la diferencia entre la imagen pintada del natural y la de aquella otra suscitada de la observación.

La Puerta semiabierta de cuarterones abre paso hacia una pared lejana, y a una Geometría donde se oculta toda otra ciencia, como así señaló Luca Pacioli, y Diego Velázquez expresó a la española.

En este área de Las Meninas la presencia de uno de los diez Sefirot de la Kabala, la Sefira número siete, situada ante el retrato de la menina Isabel de Velasco y la silueta del Aposentador José Nieto, custodia la efigie del protagonista más importante de la tradición cabalística [2].

Señalaremos, pues, donde se encuentran en este óleo estas pinceladas tan especiales:

UNOS CABELLOS QUE REPRESENTAN A UN ROSTRO

En el pelo de la menina Isabel de Velasco se representa la presencia del profeta, que, de manera explícita, corresponde al rostro de Moisés, y, sugeriríamos, que los dos adornos blancos superiores trataría de las dos tablas de la ley.

Descubrimos, pues, un oscuro secreto camuflado en la misma textura del pelo de la menina Isabel de Velasco, que habla de Teología, una disciplina también conocida como la ciencia de Dios, y que quizás fuera el motivo por el que Luca Giordano calificara a Las Meninas como la Teología de la pintura en presencia del rey Carlos II.

Ya que los antiguos cabalistas asociaron los patriarcas bíblicos con las esferas del Árbol de la Vida según su naturaleza, conocemos, a ciencia cierta, la identidad del personaje masculino consolidado en la cabeza de la menina que analizamos, y Moisés, autor de la Torah y líder indiscutible de la Kabala, quedó afianzado, pues, al pie de la columna derecha.

En 1550 Petri Galatini presenta el trabajo de Ioannis Reuchlini Phoroensis, Doctoris de Arte Cabalistica, en su libro de Opus de Arcanis Catholicæ Veritatis impreso en BASILEÆ, y explica en la página nº 851, Libri tres, los atributos de la séptima Sefira en estos términos:

Y un siglo después, Athanasius Kircher secunda en latín los mismos contenidos simbólicos que se ocultan tras el retrato de la menina Isabel de Velasco, en la séptima Sefira, Nectzah, La Victoria:

En definitiva, un retrato primoroso de gran arraigo salomónico:

רֹאשׁוֹ, כֶּתֶם פָּז; קְוֻצּוֹתָיו, תַּלְתַּלִּים, שְׁחֹרוֹת, כָּעוֹרֵב׃

Su cabeza es un tesoro de oro fino, sus mechones le cuelgan, negros como el cuervo.

Cantar de los Cantares 5:11

Sabemos, pues, que la mística desvelada en Las Meninas es heterodoxa, y tanto aquellos que conozcan el tipo de creencia que tratamos, como los que nunca han oído hablar de ella, mudan en firmes testigos ante esta exhumación artística velazqueña.

Y conmueve contemplar, por primera vez en la vida, la inusitada imagen de Moisés en el pelo de la menina Isabel de Velasco, que, como profeta, niega el dilema, y persuade hondamente al espectador.

La tradición oral hebrea se valió de la boca y del oído para guardar fuera de la vista a la Kabala, y, en esta ocasión, sin menoscabo alguno, ha sido el ojo testigo de Su fehaciente presencia en las pinceladas de luz y color de esta pintura.

	Numeración	Hebreo	Castellano	Planeta	Abscisas - X	Ordenadas - Y
	I	Kether	Corona		0	62
	II	Chokmah	Sabiduría		24	50
	III	Binah	Inteligencia	Saturno	- 24	50
		Dahat	Conocimiento		0	36
	IV	Chesed	Merced o Gracia	Júpiter	24	19
	V	Geburah	Fortaleza	Marte	- 24	19
	VI	Tipheret	Hermosura	Sol	0	9
	VII	Netzach	Eternidad o Vitoria	Venus	24	- 12
	VIII	Hod	Alabanza o Confisión	Mercurio	- 24	- 12
	IX	Yesod	Fundamento	Luna	0	- 9
	X	Malkut	Reino	Tierra	0	- 38

Los diez Sefirot, simbolizados en nuestro mundo físico a través del Árbol de la Vida, han representado, desde siempre, una imagen metafórica del descenso de la divinidad, o, a la inversa, del camino ascendente para alcanzar el estado de consciencia espiritual.

No obstante, la percepción de estas Esferas oscila entre la certeza de Su inmaterialidad y la finalidad del mensaje de Las Meninas.

No hay nada en estas esferas que no presuma ser la percepción de un legado sagrado, hablamos, pues, de diez esferas + una que enaltecen el acto social pintado por Velázquez, y convocan una entidad subyacente denominada:

El Rostro místico de Dios.

Sacamos en conclusión, pues, que ante esta circunstancia, la familia real española demandaba más que ayuda en el año 1656.

Una Profecía bíblica, a la cual temer, en pugna con el orden planetario, y que hacía alusión, ni más ni menos, al mismo año 1656 en el que fueron elaboradas Las Meninas.

La Geometría del espacio aéreo de Las Meninas se manifiesta simbólica a través de los 10 Sefirot + Dahat, y, de igual suerte, que a finales del Siglo XV, en un retrato anónimo de Luca Pacioli, se representa un poliedro colgado de un cordel en una obra que se exhibe en el Museo de Capodimonte de Nápoles desde el año 1957.

Ya que en esta época se consideraba a la Aritmética y Geometría el fundamento del Arte liberal de la Matemática, un pintor de la categoría de Velázquez, que anhelaba abrir las puertas de la Escuela de Platón, tuvo la oportunidad de ampliar sus conocimientos en la Academia de Matemática de Madrid [4].

Miguel Geronimo de Santa Cruz rememora su hallazgo de esta manera [5]:

La Aritmética que estudió Velázquez se componía de cinco reglas o guariſmos principales:

En busca de la unidad

        La Vara Real de Burgos en la época de la construcción del Monasterio del Escorial estandarizó el sistema de medidas en todos los reinos de España; y así lo confirma la pragmática dictada por el monarca Felipe II el 24 de junio de 1568 [6]:

Y declaramos que la vara Caſtellana de que se ha de uſar en todos eſtos Reynos, ſea la que hay y tiene la ciudad de Burgos.

GEOMETRÍA DE LA VARA CASTELLANA

Tenemos bien sabido que la vara Caſtellana equivale a tres pies, el pie a doce pulgadas, la pulgada castellana se compone de doce partes iguales llamadas líneas, y que la línea se divide en 12 puntos, no obstante, y sin contrariar al sistema de medidas castellano, podríamos ya adelantar que Velázquez fracciona a la pulgada en 9 partes iguales para poder operar con la unidad en sus precisas operaciones:

8/9 de pulgada equivale a la unidad en la rejilla de trabajo.

Hablamos, pues, de una proporción en la que ocho partes de nueve equivalen a la unidad, lo cual nos recuerda que en música un intervalo más su inversión siempre suman, numéricamente, una 9ª, por lo que la inversión del intervalo de una 8ª sería el unísono.

Igualmente, al Tono pitagórico le corresponde la proporción sesquioctava 9/8, es decir; el ratio entre la quinta y la cuarta:

3/2 ÷ 4/3 = 9/8 = 1,125.

Sesqui, una voz y media, es un prefijo dado en la música mensural de los siglos XV y XVI a las proporciones cuyo numerador es mayor en una unidad al denominador.

No obstante, consideraremos la aplicación práctica de la teoría musical por el maestro Velázquez en el formato de la Túnica de José, cuyos sonidos armónicos Pitágoras descubrió en el repicar de unos martillos batiendo un yunque.

Asevera en el año 1609 el bachiller Iuan Perez de Moya en su libro ARISMETICA PRACTICA, Y ESPECULATIVA:

El fundamento, o principio de la Ariſmetica, es la vnidad, aſsi como el punto lo es de la Geometria.

La unidad es un caso particular en el sistema de medidas castellano, y su estudio nos remonta, pues, hasta la época del Papiro de Ahmes de 1650 a. c., donde se plantea la cuadratura del círculo de acorde con una proporción sesquioctava, es decir; se trata de una proporción que contiene la unidad y un octavo de ella:

Con enfoque geométrico, la demostración de la cuadratura del círculo del Problema 48 del Papiro de Ahmes 1650 a. c., British Museum de Londres, utiliza, en el cálculo del área de un círculo, un diámetro igual al lado de 9 unidades del cuadrado circunscrito, y un valor de Pi = 256/81 = 3,1605...

El escriba tebano Ahmes llega a la resolución del problema de manera exacta, sin embargo, con el valor de Pi = 22/7 de Arquímedes el área sería:

π × 4,5² = 63,64285... unidades cuadradas.

Este valor se aproxima, pues, con un 99,44... % de exactitud, a un cuadrado de lado 8, es decir; 8² = 64 unidades cuadradas.

No obstante, la rejilla de 8 x 8 de la cuadratura del círculo de Ahmes es del mismo formato que la que utilizamos para el análisis de Las Meninas, de manera, que operamos sobre una cuadrícula geométrica de 64 subcuadrados, es decir; de 8 x 8 subcuadrados de 19 unidades de lado cada uno, que equivale al tamaño de una rejilla de 152 unidades.

Y con una exactitud del 98,214... %, el centro geométrico de la cuadratura del círculo de Las Meninas se localiza, pues, en la Sefira nº 6, Tiferet, la Belleza, que se sitúa encima del espejo en la pared del fondo, donde también se encuentra el Corazón del Árbol,  y, de acuerdo con la Kabala, es la causa de toda la armonía y belleza que contemplamos en el mundo.

Cauſa eſt omnis harmoniæ & pulchritudinis, quam in vniuerſso intuemur.

Los antiguos filósofos pitagóricos comparaban a la unidad, por ser divina, con el entendimiento, mientras que a la Ciencia, fundamentada en el Axioma y en la Doctrina, llamaban dos.

1 Pulgada = 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros.

la división velazqueña	la pulgada castellana
1/9 = 16 puntos	1/12 = 12 puntos
4 partes x 9 = 36 partes	3 partes x 12 = 36 partes
9 fracciones	12 fracciones
1/9 ⇔ 23,25/9 = 2,583333 milímetros	1/12 ⇔ 23,25/12 = 1,9375 milímetros

Será, por tanto, la unidad la que garantice en Las Meninas una Aritmética y Geometría exacta, a lo que se sumaría, su puesta en práctica al escalar el tamaño real pintado de la pared del fondo, y el perfecto anidamiento del escenario velazqueño en los siguientes formatos:

FORMATO 8

La pulgada de 12 líneas

        Si una pulgada se divide en doce partes iguales llamadas doce líneas, entonces, la división velazqueña, fraccionada en nueve partes, equivaldría a la misma pulgada castellana de 23,25 milímetros, pero en consonancia con el sistema de medidas implementado en el lienzo de Las Meninas.

El Pie Real equivale a 12 pulgadas, y mide 0,279 metros.

1 Pulgada = 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros.

Y en el siguiente paso reconoceremos, pues, la precisión del sistema de medición usado en todo momento de este análisis.

La exactitud es la capacidad de un instrumento para medir un valor cercano a la magnitud real.

La pulgada inglesa

        Habría que señalar que la pulgada inglesa se divide a partir de la unidad en ocho partes iguales, es decir; que el tamaño de la unidad viene dado directamente por lo que mide una pulgada, hablamos, pues, de un sistema de medidas de longitud que simplifica las operaciones geométricas.

LA PULGADA CASTELLANA		LA PULGADA INGLESA

El brazo florentino

        De modo, que si en el primer tercio del siglo XXI hemos confirmado que una fracción del Brazo florentino es comparable a otra del sistema métrico francés, lo que hemos hecho, pues, ha sido un descubrimiento, para que a partir de ahora cualquier artefacto de la escuela florentina clásica se pueda medir con justa razón.

Una averiguación que está dedicada, en primer lugar, a aquellos florentinos que nos dejaron disfrutar suss ideas plásticas más exquisitas.

Si razonablemente, pues, la longitud del patrón de medidas florentino es divisor de 1 metro francés, ya que su tamaño corresponde a 7/12 de metro, entonces, no hay duda de que ya existía un patrón de medida de 100 centímetros de longitud desde tiempos remotos, que, a lo largo de la historia, nadie supo de su existencia, sin embargo, fue el fundamento, por ejemplo, del tamaño del Brazo florentino.

Y no hablamos, pues, de que si el huevo vino antes que la gallina, sino, que se dice, que el metro centesimal corresponde a la diezmillonésima parte del arco de meridiano que va del polo Norte al Ecuador.

En la siguiente tabla se muestra las medidas que utilizaron los pintores, escultores y arquitectos florentinos durante el Renacimiento, por ejemplo; Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Miguel Ángel, Giordano Bruno ...

El Brazo Florentino mediría, pues, 700/12 = 58,333333... cm.

El cálculo de la profundidad

        Caso aparte es la división de la pulgada castellana en consonancia con la profundidad de Las Meninas, es decir; con el tamaño real de la pared del fondo medida en la distancia.

FORMATO 30

La anchura 240 pulgadas x 0,266666... = 64 pulgadas. Tamaño en unidades: 1,125 unidades por pulgada x 64 pulgadas = 72 unidades.           La altura 200 pulgadas x 0,266666... = 53 pulgadas y 1/3. Tamaño en unidades: 1,125 unidades por pulgada x 53 pulgadas y 1/3 = 60 unidades.

LA ESCALA DE REPRESENTACIÓN

Se entiende, pues, que la escala de representación de la pared del fondo de Las Meninas es de: 1/3,75 = 0,266666...

45 partes		Unidades	La Pulgada en 15 partes		Pulgadas	Milímetros	Pulgadas reales
45/40	=	1,125	15/15	=	1	23,25	3,75
42/40	=	1,05	14/15	=	0,933333	21,7	3,5
39/40	=	0,975	13/15	=	0,866666	20,15	3,25
36/40	=	0,9	12/15	=	0,8	18,6	3
33/40	=	0,825	11/15	=	0,733333	17,05	2,75
30/40	=	0,75	10/15	=	0,666666	15,5	2,5
27/40	=	0,675	9/15	=	0,6	13,95	2,25
24/40	=	0,6	8/15	=	0,533333	12,4	2
21/40	=	0,525	7/15	=	0,466666	10,85	1,75
18/40	=	0,45	6/15	=	0,4	9,3	1,5
15/40	=	0,375	5/15	=	0,333333	7,75	1,25
12/40	=	0,3	4/15	=	0,266666	6,2	1
9/40	=	0,225	3/15	=	0,2	4,65	0,75
6/40	=	0,15	2/15	=	0,133333	3,1	0,5
3/40	=	0,075	1/15	=	0,066666	1,55	0,25

Equivalencia entre las unidades, la pulgada dividida en 15 partes, el milímetro centesimal y el tamaño real de la pulgada en la pared del fondo

unidad	pulgada	milímetro

 

En consonancia con la profundidad, La pulgada Castellana queda dividida en 15 partes iguales en la rejilla de trabajo para el cálculo de los tamaños de los distintos elementos situados en la pared del fondo.

 

RAZONAMIENTO

        La escala de representación de la pared del fondo de Las Meninas es de: 1/3,75 = 0,266666...

 

El tamaño real de cualquier elemento de la pared del fondo de Las Meninas se puede averiguar multiplicando la medición en la rejilla de trabajo por la constante 3,333333… pulgadas por unidad.

 

3,333333… pulgadas por unidad representa un valor de tipo permanente, al menos dentro del contexto o situación para el cual ha sido planeado.

 

Esa comprobación sólo será válida para los casos concretos que se comprueben.

 

Es decir; en todos los casos que hablemos del tamaño real de la pared del fondo de Las Meninas de Velázquez.

 

Nos serviremos de un ejemplo para explicar cómo funcionan estos números:

 

Unidades en la pared del fondo		Ratio de ampliación		Medidas reales en pulgadas
1,125	x	3,333333…	=	3,75

 

Tomemos, en la columna de las unidades, la cantidad de 1,125, y ahora multipliquemos 1,125 unidades por 3,333333… pulgadas por unidad, el resultado se reflejará en la columna denominada:

 

Medidas reales en pulgadas, cierto, la solución es la esperada; 3,75 pulgadas castellanas.

 

Añadimos:

 

0,3 unidades en la rejilla de medición equivalen en el mundo real de la pared del fondo a:

 

 0,3 unidades x 3,333333... pulgadas por unidad = 1 pulgada = 23,25 milímetros.

Unidades sobre la rejilla de trabajo	Pulgadas sobre la pared del fondo	Milímetros
1,125	3,75	87,1875
1	3,333333	77,5
0,3	1	23,25

Equivalencia en la rejilla de trabajo entre las unidades y la pulgada castellana aplicada al tamaño real de la pared del fondo

Unos números, pues, que se ajustan, con calidad científica, a la apertura del ángulo visual de Las Meninas en el acto espontáneo de mirar.

 

La pulgada dividida en quince fracciones también está en relación directa con cada una de las 12 líneas en las que se divide la pulgada castellana a través de las cantidades 4 y 5.

 

división en quince fracciones	la pulgada castellana
1/15 = 9,6 puntos	1/12 = 12 puntos
4 partes x 15 = 60 partes	5 partes x 12 = 60 partes
15 fracciones	12 fracciones
1/15 ⇔ 23,25/15 = 1,55 milímetros	1/12 ⇔ 23,25/12 = 1,9375 milímetros

 

El análisis geométrico

       Entendemos, pues, que para documentar sin errores el tamaño de Las Meninas se requiere de la ayuda de las reglas de Geometría y del Cálculo numérico en base al antiguo sistema de medidas castellano.

 

Para su aplicación hay que considerar ciertas pautas [8]:

• El Pie Real equivale a 12 pulgadas.

• La pulgada castellana se divide en 12 líneas.

• A la pulgada la hemos fraccionado en 9 partes iguales para operar con la unidad en la rejilla de trabajo.

• Asimismo; la medición del tamaño real de la pared del fondo se establece fraccionando a la pulgada castellana en 15 partes iguales en la rejilla de trabajo.

Básicamente, estas cuatro normas dan paso al proceso de medir cualquier esquina de Las Meninas con realidad, profundidad y exactitud  [9].

 

El Pie Real equivale a 13,5 unidades

 

Si una pulgada equivale a 1,125 unidades en la cuadrícula de trabajo, entonces; sólo hay que multiplicar 1,125 unidades por 12 para obtener 13,5 unidades, que es la cantidad que representa en esta misma cuadrícula 4,5 cuadraditos valiendo el Pie Real 12 pulgadas.

 

Y será en la misma anchura del espejo de Las Meninas en donde Velázquez proponga la regia medida del Pie Real.

 

La anchura del Marco del Espejo mide 1 Pie Real

 

El Pie Real, el legítimo patrón de medidas castellano, quedó representado en Las Meninas en la anchura del Marco del Espejo.

• La anchura del Marco del Espejo mide 13,5 unidades

 

Factorización de 3 x 3 x 3 x 5 = 135.

 

Los divisores del número 135 son 8:

 

1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135.

 

135 ÷ 1,125 = 120; que es lo que mide en pulgadas el ancho original del lienzo de Las Meninas.

 

• La altura del Marco del Espejo mide 18,6 unidades

 

Factorización de 2 x 3 x 31 = 186.

 

Los divisores del número 186 son 8:

 

1, 2, 3, 6, 31, 62, 93, 186.

 

186 ÷ 8 = 23,25; que es la cantidad que equivale en milímetros una pulgada castellana.

LA ALTURA					FUNDAMENTO	LA ANCHURA
Metros	Pulgadas	Unidades		Cuadrícula		Cuadrícula		Unidades	Pulgadas	Metros
0,3844	16 y 8/15	18,6	=	18,6 x 1		13,5 x 1	=	13,5	12	0,279
0,3844	16 y 8/15	18,6	=	9,3 x 2		4,5 x 3	=	13,5	12	0,279
0,3844	16 y 8/15	18,6	=	6,2 x 3		2,7 x 5	=	13,5	12	0,279
0,3844	16 y 8/15	18,6	=	3,1 x 6		1,5 x 9	=	13,5	12	0,279
0,3844	16 y 8/15	18,6	=	0,6 x 31		0,9 x 15	=	13,5	12	0,279
0,3844	16 y 8/15	18,6	=	0,3 x 62		0,5 x 27	=	13,5	12	0,279
0,3844	16 y 8/15	18,6	=	0,2 x 93		0,3 x 45	=	13,5	12	0,279
0,3844	16 y 8/15	18,6	=	0,1 x 186		0,1 x 135	=	13,5	12	0,279

Cuadrículas de Trabajo del Marco de madera del Espejo

 

Marco del Espejo	Metros	Pulgadas	Unidades		Unidades por pulgada		Tamaño real en pulgadas
Anchura	0,279	12	13,5	=	0,3	x	45
Altura	0,3844	16 y 8/15	18,6	=	0,3	x	62

Tamaño real del Marco de madera del Espejo

 

• Tamaño del Espejo

La anchura del Marco del Espejo mide 13,5 unidades.

 

13,5 unidades x 3,333333... pulgadas por unidad = 44,999999... pulgadas.

 

En el sistema castellano tendremos:

 

1,04625 metros / 0,02325 metros por pulgada = 45 pulgadas.

 

Velázquez dividió las 45 pulgadas de la anchura real del Marco del Espejo entre 3,333333... pulgadas por unidad, y así representar su tamaño de acorde a la distancia:

 

45 pulgadas / 3,333333... pulgadas por unidad = 13,5 unidades.

 

• La Cuadrícula de Aquiles

1125 unidades, que le corresponde el valor de 1000 pulgadas, es un número de Aquiles:

 

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125...

 

Un número natural se llama poderoso cuando todos los exponentes de sus factores primos son mayores o iguales a 2.

 

Expresado de otra manera:

 

1125 se descompone en estos dos factores: 32 x 53.

 

Si N es poderoso, y un número primo, p, divide a N, entonces p² también divide a N.

 

E, igualmente, 72 también es un número de Aquiles; que en la Geometría del ancho de la pared del fondo de Las Meninas quedó representado en doce distintas subdivisiones en la Tabla que denominamos La Cuadrícula de Aquiles.

 

LA ALTURA									LA ANCHURA
Metros	Pulgadas	Unidades			Cuadrícula		Cuadrícula			Unidades	Pulgadas	Metros
1,24	53,333	60	=		72 x 0,833		72 x 1	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		36 x 1,666		36 x 2	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		24 x 2,5		24 x 3	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		18 x 3,333		18 x 4	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		12 x 5		12 x 6	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		9 x 6,666		9 x 8	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		8 x 7,5		8 x 9	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		6 x 10		6 x 12	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		4 x 15		4 x 18	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		3 x 20		3 x 24	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		2 x 30		2 x 36	=		72	64	1.488
1,24	53,333	60	=		1 x 60		1 x 72	=		72	64	1.488

Geometría del número de Aquiles 72

 

La Cuadrícula de Aquiles, que cubre totalmente a la pared del fondo, es la base geométrica del bastimento de Las Meninas.

 

Ante este Muro se estableció una relación de dependencia, donde el más fuerte, el rey Felipe IV, daba protección y ennoblecía al más débil, Diego Velázquez, a cambio de comprometerse a guardar fidelidad y ejecutar, de manera segura, un trabajo cabalístico.

 

Ratio de la pared del fondo

 

60 unidades ÷ 72 unidades = 0,83333...

Así pues, es en la relación entre la altura y anchura de la pared del fondo de Las Meninas donde Diego Velázquez propuso el ratio de 10/12 = 0,83333..., es decir; un ratio que viene a ser 3/12 mayor que el del Brazo florentino respecto al metro francés, ya que a este patrón de medida florentino le corresponde 7/12 partes del metro.

La relación geométrica entre el Metro y el Brazo florentino

Y se demuestra, pues, que el maestro español utilizó en este óleo una exacta Geometría, Aritmética y Matemática; considerando en esta investigación, además, otras ciencias alternativas, pero vedadas en esta época.

 

        Aportamos, pues, cuatro aspectos o equivalencias de cualquier medida en la aplicación de la pulgada castellana en el estudio de este lienzo.

 

Cuadrícula geométrica	Unidades de trabajo	Medidas castellanas	Sistema métrico
1 cuadradito	3	pulgadas	milímetros
		2,666666	62

 

El Compás

        El compás es un instrumento que sirve para trazar la figura más perfecta de todas; el círculo, cuyo diseño triangular está asociado desde la antigüedad a la forma de la letra griega alfa mayúscula A.

La voz de la Sabiduría      Cuando componía los cielos, allí estaba yo, señalando por compás la sobrefaz del abismo.   בהכינו שׁמים שׁם אני בחוקו חוג על־פני תהום׃   Proverbios 8:27

Luca Pacioli - Divina Proporción - Edición 1509

 

El compás representa, por tanto, varias cuestiones emblemáticas universales:

• La herramienta del acto de la Creación divina - Dios Arquitecto,

• el útil de acotación del límite del espacio,

• el símbolo de la Matemática, Geometría y Arquitectura

• y, también, a la tercera de las tres Grandes Luces que ilumina toda logia masónica.

El preciso compás de proporción, construido por Marco Antonio Mazzoleni en 1606 siguiendo las instrucciones de Galileo Galilei, permite, sin tener conocimientos matemáticos, dividir una línea en las partes que se desee, reproducir un plano a diferentes escalas o extraer raíces cuadradas y cúbicas [10].

 

El precursor del compás de Galileo fue el compás de proporción de ocho puntas del matemático italiano Fabrizio Mordente, que, con dos brazos con punteros, permitía la solución de problemas en la medición de la circunferencia, área y ángulos de un círculo.

 

En 1567 Fabrizio Mordente publicó en Venecia, en una simple hoja impresa, el tratado e ilustraciones de su dispositivo [11].

 

Compás de proporción			Compás de reducción adaptado a Las Meninas
Compás de reducción de eje desplazable

 

Toda una joya en la época de Velázquez [12].

 

El compás de eje desplazable consiste en dos piezas calibradas, fijadas a un centro móvil, donde la medición se traduce a escalas entre 1:2 a 1:15.

 

Este compás de cuatro puntas se utiliza para reproducir dibujos a mayor o menor tamaño; en la práctica de la pintura facilita medir objetos reales o bocetos preparatorios para ser plasmados a su formato definitivo en la superficie del lienzo.

LA GEOMETRÍA DE LA PROPORCIÓN

PLANTEAMIENTO   El rectángulo de trabajo mide 64 x 128 líneas 1 pulgada se compone de 12 líneas de 0,09375 unidades = 1,125 unidades 3 pulgadas y 9/12 se compone de 40 líneas de 0,09375 unidades   EL PROCEDIMIENTO La operación: 40 / 12 = 3,333333... 3 pulgadas y 9/12  / 1,125 unidades  = 3,333333... pulgadas por unidad   LA ESCALA 1 pulgada  / 3 pulgadas y 9/12  = 0,266666... 1 / 0,266666... = 3,75   LA PROPORCIÓN La proporción: 15 / 4 = 3,75

Apertura adaptada a Las Meninas

Escribe Vitrubio en el capítulo II del Libro Noveno de Los Diez Libros de Arquitectura [13]:

 

Pitágoras inventó una escuadra que no requiere el trabajo de los artesanos, (...).

La escuadra perfecta

Si se toman tres reglas, una de tres pies, otra de cuatro y una tercera de cinco, y se las junta de modo que reunidos sus extremos de punta a punta formen un triángulo, se tendrá una escuadra perfecta.

Hablamos, pues, del Triángulo Sagrado egipcio, nombre moderno dado a un triángulo rectángulo cuyo lados miden; 3, 4 y 5, o sus medidas guardan estas proporciones, como es el caso del triángulo rectángulo semejante de lados; 15, 20 y 25 codos, que se empleó en el Antiguo Egipto, y fue llamado Isíaco en honor a la diosa Isis.

 

Estos tres números, 3, 4 y 5, utilizados para obtener un ángulo recto, tienen propiedades aritméticas y geométricas especiales, además de coincidencias con períodos astronómicos, tales como el período de revolución sinódica de un planeta visible a simple vista, o los múltiplos mínimos comunes de varios de esos períodos.

 

Será, por tanto, estos tres números pitagóricos los que midan el espacio profundo de Las Meninas.

Primer Caso

• Aplicaremos el Teorema de Pitágoras [14], más el cálculo de las medidas de los lados de los triángulos semejantes de Euclides [15], para averiguar la razón geométrica entre el tamaño real de la Habitación del Príncipe y el de la distante pared representada en Las Meninas.

En un ejemplo práctico, pues, comprobaremos la relación matemática entre pulgadas y unidades en consonancia con las profundidad de este lienzo.

 

Para esta demostración daremos el valor de 60 pulgadas al tamaño de la anchura real de la Habitación del Príncipe, y 18 unidades a la anchura de la pared del fondo pintada en este óleo.

 

      La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se evalúa cuántas veces contiene una a la otra.

 

Con estas medidas reseñadas obtendríamos la siguiente propuesta en un compás abierto de cuatro puntas:

Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa 3 4 5 18/2 12 15 60/2 40 50

LA PROPORCIÓN DE LA ESCUADRA PERFECTA DE PITÁGORAS

Hablamos, pues, de la misma Geometría de los egipcios, la de Pitágoras, la de Thales de Mileto, la de Euclides ... y la de Diego Velázquez.

 

Como se demuestra, la razón geométrica 60 / 18 = 3,333333... pulgadas por unidad operaría del siguiente modo en Las Meninas:

• x = 18 representaría el tamaño proporcional en unidades del ancho de la pared pintada del fondo.

• y = 60 representaría el tamaño proporcional en pulgadas del ancho real de la Habitación del Príncipe.

Y obtendríamos el mismo ratio, entre la anchura y altura real de esta sala respecto a los del tamaño de la pared del fondo pintada en este óleo, con los siguientes guarismos:

240 / 72 = 200 / 60 = 3,333333... pulgadas por unidad

Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa 18/2 12 15 3 x 6 4 x 3 5 x 3   60/2 40 50 3 x 10 4 x 10 5 x 10 Ternas pitagóricas de la escuadra perfecta

Proporción: 10 / 3 = 3,333333... pulgadas por unidad

• Sea 240 pulgadas el tamaño real de la anchura de la Habitación del Príncipe,

• y 72 unidades el valor de la anchura de la pared del fondo pintada en este óleo:

 

240 pulgadas  / 72 unidades  = 3,333333... pulgadas por unidad.

 

El indicio de la existencia de una constante matemática da pie para garantizar, ahora sí, el estudio de la perspectiva de la Habitación del Príncipe.

 

 

El formato de la pared del fondo de Las Meninas trata, pues, de una proporción sesquiquinta, que es aquella que contiene la unidad y un quinto de ella:

5/5 + 1/5 = 6/5   1 + 1/5 = 1,2

 

Segundo Caso

• Se entiende, pues, que trabajando sólo en pulgadas, la escala de representación de la pared del fondo de Las Meninas sería:

 

60 / 16 = 3,75, y el inverso; 1/3,75 = 0,266666...

 

• x = 16 representaría el tamaño proporcional en pulgadas del ancho de la pared pintada del fondo.

• y = 60 representaría el tamaño proporcional en pulgadas del ancho real de la Habitación del Príncipe.

 

LA PROPORCIÓN DE LA ESCUADRA PERFECTA DE PITÁGORAS

La escala de representación de la pared del fondo de Las Meninas es de: 1/3,75 = 0,266666...

CONCLUSIÓN:

        Se demuestra, no obstante, que el planteamiento de la profundidad de Las Meninas es de inspiración pitagórica, y en consenso con el patrón de medidas castellano instaurado por el abuelo de Felipe IV, el rey Felipe II.

 

Y se deduce, pues, que si hemos dado respuesta segura al método pitagórico que utiliza Velázquez para medir distancias, a su vez, también hemos definido el propósito del espacio vacío de la mitad superior de la Habitación del Príncipe, donde, además de contener aire, el pintor español refrendó, en la primera esfera denominada Kether, el símbolo soberano de la autoridad monárquica teocrática:

 

La Corona.

 

EL AIRE PITAGÓRICO DE LAS MENINAS

De acuerdo con el resultado del análisis mostrado, todo apunta a que han sido restituido los números originales que acompañan la altura y profundidad de esta pieza artística, por lo que ahora sería consecuente, pues, dotar a estos guarismos de la hondura simbólica que representan.

5	+	40	+	30	+	300	=	375

Gematría de la palabra SALOMÓN

Examinaremos, pues, el nombre de Salomón, שלמה:

SALOMÓN EN LA CORONA DEL SACRO IMPERIO

La escala de la pared del fondo

        La distancia entre la vista y lo que se ve ha de ser proporcionada; ya que el tamaño de cualquier objeto o figura, aunque se localice muy distante, debe armonizar con la lejanía plasmada en el lienzo.

 

Y como indicó Francisco Pacheco, el maestro de Velázquez:

 

Así la distancia ha de corresponder a la vista con cierta razón y proporción de ángulos.

Escala de la anchura de la sala donde se pintan Las Meninas

El ancho del lienzo de Las Meninas mide la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe, y el tamaño de la anchura de la pared pintada equivale a 1/3,75 de esta misma sala [16].

 

• La anchura inicial de Las Meninas es de 120 pulgadas, que corresponde a 2,79 metros.

• Luego la anchura de esta sala será de 2,79 metros x 2 = 5,58 metros = 20 pies = 240 pulgadas.

• La dimensión transversal de la distante pared pintada es de 1,488 metros = 64 pulgadas.

• La relación entre el tamaño de como se pinta la pared del fondo y su tamaño real: 1,488/5,58 = 0,266666...

• Luego la escala de representación de la pared del fondo es de: 1/3,75 = 0,266666..

Zona izquierda 132 pulgadas			Zona central 64 pulgadas	Zona derecha 44 pulgadas
44	44	44	64	44
Total - 240 pulgadas

Desglose de la anchura de la Habitación del Príncipe

La escala y la perspectiva

        La cuestión del tamaño de la pared del fondo está relacionada directamente con la perspectiva:

CÁLCULO DIRECTO DE LA ANCHURA DE LA SALA DONDE SE PINTAN LAS MENINAS

72 unidades x 3,333333... pulgadas por unidad = 240 pulgadas. 60 unidades x 3,333333... pulgadas por unidad = 200 pulgadas.

Desglose de la altura de la Habitación del Príncipe

	unidades	pulgadas	medidas castellanas	metros
Altura	225	200	200 / 12 = 20 pies y 2/3	4,65
Anchura	270	240	240 / 12 = 20 pies	5,58

Medidas reales de la pared del fondo

Más allá de lo ya analizado, pondremos a prueba un Caso especial de medición en la distancia, y su relación matemática con la rejilla de trabajo.

 

Ya hemos observado que el ancho del lienzo de Las Meninas equivale a la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe, y que la anchura real de esta misma sala está representada, proporcionalmente, en la pared del fondo de esta pintura.

 

Esta relación se descubre del siguiente modo; 120 pulgadas corresponden al tamaño original de la anchura de Las Meninas, y 64 pulgadas es lo que mide la anchura de la pared del fondo pintada en este lienzo:

64/120 = 8/15 = 0,533333...

Unidades en la pared del fondo	División de la pulgada en 15 partes	Milímetros	Ratio de ampliación
1,125	15/15	23,25	3,333333... x 1,125 = 3,75
0,6	8/15	12,4	3,333333... x 0,6 = 2
0,3	4/15	6,2	3,333333... x 0,3 = 1

La pulgada castellana en la lejana pared del fondo pintada en Las Meninas

Y al mismo tiempo, el coeficiente de ampliación de 3,75 confirma que el Tamaño real de esta sala de 240 pulgadas de anchura está en relación directa con la distancia sugerida en la pared pintada del fondo de Las Meninas:

64 pulgadas x 3,75 = 240 pulgadas

En cualquier caso, desde la antigüedad la relación entre el tamaño aparente y la distancia percibida de un objeto determinado del campo visual quedó formulada en la denominada Ley de Euclides, que dice así:

La distancia entre el objeto y el observador es inversamente proporcional al tamaño de dicho objeto.

El tamaño de un objeto disminuye en función a la distancia de forma inversamente proporcional, es decir; a doble de distancia a este mismo objeto le corresponde la mitad de su tamaño.

 

Acerca de la distancia entre el primer plano de Las Meninas y la pared del fondo habría que puntualizar que existe la posibilidad de entender esta distancia de dos manera diferentes;

• una sería la profundidad real de la Habitación del Príncipe,

• y la otra, la que pinta Velázquez en su óleo en base a las proporciones que estamos ahora analizando.

Examinaremos, pues, la profundidad real de esta sala situada en la esquina suroeste de la planta baja del Alcázar de Madrid.

 

PLANO DE LA HABITACIÓN DEL PRÍNCIPE

 

El arquitecto del rey Juan Gómez de Mora armonizó las primitivas construcciones que integraban el Alcázar madrileño mediante una larga fachada flanqueada por torreones, es decir; él fue quien hizo el plano de Palacio que aquí estudiamos.

 

La posición del pintor ante la profundidad

 

• La posición del pintor ante la profundidad de esta sala mide 50 pies,

• 50 pies equivalen; 50 x 12 = 600 pulgadas,

• y 600 pulgadas equivalen; 600 x 0,02325 metros por pulgada = a 13,95 metros.

 

Intersección de la superficie del lienzo con el plano de proyección en Las Meninas

 

Génesis de la Perspectiva

        Y cierto es que 0,279 metros equivalen al Pie Real, y que la anchura de Las Meninas medía 2,79 metros, una anchura que corresponde a diez veces el Pie Real; es decir, a 120 pulgadas.

 

Una reciprocidad consistente en la que sólo intervienen números enteros.

 

En pintura, la mirada del pintor se propaga en las distancias, estudia las diferentes calidades de luz, en las penumbras y sombras, en las luces claras y oscuras, en las frías y calientes; de tal manera, que la superficie del lienzo funciona como un plano transparente, vertical al suelo, en la intersección con su modelo.

 

Coeficiente Pulgadas Metros 7º y 1/2 60 60 x 0,02325 = 1,395 8º 64 64 x 0,02325 = 1,488 15º 120 120 x 0,02325 = 2,79 17º y 1/4 138 138 x 0,02325 = 3,2085 17º y 1/2 140 140 x 0,02325 = 3,255   Calibración de la anchura y altura del lienzo de Las Meninas     Escala 1:2

ESTUDIO DEL TAMAÑO DE LAS MENINAS

 

Magister Matheseos

        Al rey de Egipto Meris se le atribuye la invención de la Geometría, y desde entonces vino la facultad del medir, que, poco a poco, creció en nuevas invenciones hasta los tiempos de Pitágoras, natural de la isla de Samos.

 

Cuentan que Pitágoras ideó las delineaciones, las formas, los intervalos, las distancias y las cantidades; entre las cuales halló la virtud de la potencia del triángulo rectángulo, con tanto contentamiento y satisfacción de haberle hallado, que se dice que en pago de la merced recibida ofreció a la diosa Minerva el sacrificio Hecatombe en el cual sacrificó cien vacas.

 

 

No obstante, valoramos, pues, la erudición de Velázquez al hacer gala en Las Meninas de su grado de Maestro de Matemática, Magister Matheseos, una prueba académica que consistía, desde la Edad Media, en una demostración original del Teorema de Pitágoras, lo que acreditaba una sólida formación de Matemática y Geometría.

 

 

Ha tomado 350 años descubrir un plano concluyente que mostrara gráficamente la gestación del trabajo geométrico de Las Meninas, y posibilitara reconstruir, con total exactitud, la localización de cada elemento necesario y principal de esta composición.

 

El conocimiento del sistema de medidas de la época de Velázquez facilita acceder a las habituales normas ópticas y geométricas de la profundidad espacial, pero también proporciona, a ciencia cierta, el modelo e idea original del trazado de la Geometría de esta pintura, lo cual constituye, además, la recuperación del plano inicial de Las Meninas.

 

Esta comprometida empresa está basada en dos ideas complementarias que garantizan la legítima génesis geométrica de Las Meninas:

• Una la del Teorema de Tales de Mileto [17], que afirma que cualquier ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto,

• y la otra compartida por dos ilustres geómetras; el Teorema de Pitágoras y la Proposición 47 de Euclides [18].

Cateto menor ab Cateto mayor ac Hipotenusa cb Altura ad 1 √3 2 √3/2 2 2√3 4 √3 120 120√3 240 60√3 Terna pitagórica de la Proposición 47 de Euclides                         al describe el eje vertical del punto de fuga:     cb + ad = al = 2 + √3/2

Tamaño del área geométrica de Las Meninas en pulgadas castellanas

 

La Habitación del Príncipe mide 240 pulgadas de ancho, y el eje vertical al mide físicamente; 240 pulgadas + 60√3 pulgadas.

 

60√3 equivale geométricamente a; ab² - bd² = ad².

 

Ahora sustituiremos estas letras por cifras; si ab = 120 y bd = 60; luego ad = √ (120² - 60²) = √10800 = 60√3.

 

Como hemos confirmado, el ancho del área geométrica de Las Meninas equivale a 240 pulgadas.

Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa 80 x 3 = 240 80 x 4 = 320 80 x 5 = 400 60 x 4 partes 64 x 5 partes 100 x 4 partes   La Escuadra Perfecta

Intersección de la superficie del lienzo con el plano de proyección en Las Meninas

Formato	Unidades	La anchura		Pulgadas por unidad		Anchura en pulgadas	Tamaño en metros
8	9/8 = 1,125 unidades	72 unidades	x	0,888.888	=	64 pulgadas	8 x 8 x 0,02325 = 1,488 metros

Formato en la Anchura y Horizonte de Las Meninas

DEMOSTRACIÓN por el punto de origen 0, y a 60√3 pulgadas del vértice a, corre la paralela horizontal correspondiente al diámetro del semicírculo cb, y que, a su vez, pertenece al lado de la base, y también hipotenusa, del triángulo pitagórico cab de la Proposición 47 de Euclides. por el enclave del punto de fuga transita la perpendicular al procedente del vértice a del ángulo recto del triángulo cab, la Línea de tierra de Las Meninas se halla localizada en la altura media de este plano, en la altura del Horizonte se determina el tamaño pictórico de la anchura de la pared del fondo que equivale a 320 pulgadas / 5 = 64 pulgadas y la escala definida por el tamaño de la pared del fondo pintada en Las Meninas respecto al tamaño real de la anchura de la Habitación del Príncipe de 240 pulgadas: Luego la escala de representación de la pared del fondo será:   64 / 240 = 0,888.888... / 3,333.333... = 0,266666... = 1 / 3,75.

 

Este plano mide físicamente 240 x 320 pulgadas, es decir; 5,58 x 7,44 metros.

 

La vista obedece al número

        Luca Pacioli manifiesta en su tratado DE DIVINA PROPORTIONE que el saber tuvo su origen en el sentido de la vista; y de ahí que la vista es la primera puerta por la que el intelecto entiende y gusta.

 

En el Renacimiento, y de acorde con la idea de que el hombre es la medida de todas las cosas, se aplicó la proporcionalidad del cuerpo humano a todo tipo de arte:

 

Un sistema antropométrico de medición consolidado en dedos, codos, palmos o pies.

 

Villa Maser - Autorretrato de Paolo Veronés.

 

En la Villa Barbaro, proyectada por Palladio, encontramos un ejemplo bien ilustrado de un cazador asomado a una puerta simulada, y autorretrato del pintor Paolo Veronés, fundido en el conjunto de la obra arquitectónica, a semejanza de la idea de Leonardo da Vinci, como también lo fue para Alberto Durero, en la que toda práctica pictórica debía sustentarse en la ciencia de la Matemática y Geometría.

Detalle de la intersección de la Geometría con la superficie del lienzo

 

En nuestro ejemplo, José Nieto, el Aposentador de la reina, será quien salvaguarde la proporción y el tamaño real de cada objeto en la distancia.

 

• La anchura de la Puerta mide 18,9 unidades

Factorización de 3 x 3 x 3 x 7 = 189.

 

Los divisores del número 189 son 8:

 

1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189.

 

• La altura de la Puerta mide 30 unidades

Factorización de 2 x 3 x 5 = 30.

 

Los divisores del número 30 son 8:

 

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

LA ALTURA						LA ANCHURA
Metros	Pulgadas	Unidades		Cuadrícula		Cuadrícula		Unidades	Pulgadas	Metros
0,62	26 y 10/15	30	=	30 x 1		18,9 x 1	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	15 x 2		6,3 x 3	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	10 x 3		2,7 x 7	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	6 x 5		2,1 x 9	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	5 x 6		0,9 x 21	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	3 x 10		0,7 x 27	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	2 x 15		0,3 x 63	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	1 x 30		0,1 x 189	=	18,9	16 y 12/15	0.3906

Cuadrículas de Trabajo de la Puerta

 

Señalaremos la idea más compleja; la puramente geométrica de esta Puerta de madera.

 

Acotación de la Puerta semiabierta de madera en unidades   División de la altura de 30 unidades equivalente a 26 pulgadas y 10/15

 

La división de la altura de 30 unidades de la puerta en la rejilla de trabajo:

 

30 unidades / 0,075 unidades = 400 partes.

 

Unidades	Fracción de la pulgada	Pulgadas	Milímetros	Operación		Tamaño real
1,125	15/15	1	23,25	1,125 unidades x 3,333333... pulgadas por unidad	=	3,75 pulgadas
0,075	1/15	0,066666...	1,55	0,075 unidades x 3,333333... pulgadas por unidad	=	0,25 de pulgada

Sistema de medición en la rejilla de trabajo sobre la pared del fondo de Las Meninas.

Matemáticamente, pues, hemos acotado diecinueve alturas niveladas por el Horizonte de Las Meninas, y así rehacer el trazado de la Puerta de madera semiabierta de 22 cuarterones en el vano de la anchura de las dos jambas.

 

La escala, ya sea de ampliación o disminución, es la relación entre el tamaño real de un objeto y su tamaño final en el dibujo.

 

Así, en este caso, una escala de 1/3,75 significa que en la distancia una pulgada en la pared del fondo de Las Meninas, y cuyo valor en la rejilla de trabajo es de 1,125 unidades, representa en el mundo real a 3,75 pulgadas.

 

Escala de la pared del fondo: 1/3,75

 

Unidades	Fracción de la pulgada	Pulgadas	Pulgadas reales en la distancia
2,1	1 pulgada y 13/15	1,866666	7 pulgadas = 7
2,025	1 pulgada y 12/15	1,8	6 pulgadas 9/12 = 6,75
1,95	1 pulgada y 11/15	1,733333	6 pulgadas 6/12 = 6,5
1,875	1 pulgada y 10/15	1,666666	6 pulgadas 3/12 = 6,25
1,8	1 pulgada y 9/15	1,6	6 pulgadas = 6
1,725	1 pulgada y 8/15	1,533333	5 pulgadas 9/12 = 5,75
1,65	1 pulgada y 7/15	1,466666	5 pulgadas 6/12 = 5,5
1,575	1 pulgada y 6/15	1,4	5 pulgadas 3/12 = 5,25
1,5	1 pulgada y 5/15	1,333333	5 pulgadas = 5
1,425	1 pulgada y 4/15	1,266666	4 pulgadas 9/12 = 4,75
1,35	1 pulgada y 3/15	1,2	4 pulgadas 6/12 = 4,5
1,275	1 pulgada y 2/15	1,133333	4 pulgadas 3/12 = 4,25
1,2	1 pulgada y 1/15	1,066666	4 pulgadas = 4
1,125	1 pulgada = 15/15	1	3 pulgadas 9/12 = 3,75
1,05	14/15 de pulgada	0,933333	3 pulgadas 6/12 = 3,5
0,975	13/15 de pulgada	0,866666	3 pulgadas 3/12 = 3,25
0,9	12/15 de pulgada	0,8	3 pulgadas = 3

Tabla de medición de la Puerta de 22 cuarterones

 

Análisis de 1/5 de la altura de la Puerta

        La Geometría es una rama de la Matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano y en el espacio; incluyendo puntos, rectas, superficies...

 

La base teórica del dibujo técnico queda establecida por los instrumentos usados para su práctica; como la regla, el compás, la escuadra..., mientras que el razonamiento matemático se ocupa de las operaciones elementales, que originan series matemáticas.

 

La Geometría de la Puerta

 

La rejilla de trabajo sobre la altura de la jamba de la  Puerta del fondo de Las Meninas mide 30 unidades.

 

Tenemos:

 

30 unidades / 0,075 unidades = 400 partes.

 

La altura de la jamba queda dividida, por tanto, en cinco partes iguales:

 

400 partes / 5 = 80 partes.

 

Y al mismo tiempo:

 

0,075 unidades x 80 partes = 6 unidades por cada 1/5 de la altura de la Puerta del fondo.

 

LA PUERTA CERRADA

 

La perspectiva lineal, surgida de la observación, negaba los postulados geométricos aceptados en el siglo XV; sin embargo, en el año 1656, cuando se pintan a Las Meninas, ya existía suficiente Matemática y Geometría que engranase del todo los números analizados, y, no obstante, en la que toda práctica pictórica debe sustentarse.

 

Piero della Francesca es el único pintor del Renacimiento que hace uso de una Matemática sofisticada, la cual supuso el puente entre la perspectiva artística y la geométrica.

 

A la muerte de Piero della Francesca sus investigaciones inspiró a notables autores de tratados de Geometría, como es el ejemplo del libro DE DIVINA PROPORTIONE de Luca Pacioli, ilustrado por Leonardo da Vinci, donde están presentes los estudios de Piero sobre los sólidos geométricos.

 

Fuego	Tierra	Universo	Aire	Agua
tetraedro	hexaedro	dodecaedro	octaedro	icosaedro

Dibujos de Leonardo da Vinci

En la Geometría de Euclides las paralelas son siempre equidistantes, y por mucho que se las prolonguen nunca se encuentran en un sólo punto; pero en la Geometría no euclidiana, generada de la experiencia del campo visual, este postulado se revelaba falso, pues, como demostró Filippo Brunelleschi, en el punto de fuga convergen todas las paralelas a la altura del nivel de ojo u Horizonte.

 

Localización del punto de fuga del lienzo de Las Meninas

Este análisis confirma que en Las Meninas la profundidad escalonada de los cinco planos laterales de la arquitectura de la pared derecha están dispuestos de manera segura.

Intervalo	1		2		3		4		5
Unidades	2,75		3,5		5		8		14
Pulgadas	2 pulgadas y 4/9		3 pulgadas y 1/9		4 pulgadas y 4/9		7 pulgadas y 1/9		12 pulgadas y 4/9
Incremento		+ 0,75		+ 1,5		+ 3		+ 6
Progresión geométrica		0,75 x 20		0,75 x 21		0,75 x 22		0,75 x 23

Anchura de los cinco intervalos de la pared derecha

La perspectiva lineal que analizamos es un nuevo hallazgo del estudio de la profundidad de Las Meninas.

 

LA GEOMETRÍA

        Algunos autores distinguen entre dos especies de perspectiva; la geométrica y la artística, pero en realidad hay una sola perspectiva, que es la exacta.

 

El método geométrico que mostramos no es convencional, sino rigurosamente exacto.

Eſta ciencia tiene mas loa que las otras tres, comprehendidas en el numero de Matematicas; porque auiendo grandes contiendas entre las ſestas de caſi todas las diſciplinas, todos los geometras en toda parte concuerdan en vno, ni jamas ſobre la facultad ſe halla entre ellos algun debate, porque aunque diſputan de los puntos, de las lineas, y de las ſuperficies, ſi ſe pueden diuidir o no; en lo demas concuerdan, ni difieren en dotrina o preceptos; antes ſe esfuerçan para exceder el vno al otro, con nueuas y mas ſutiles inuenciones.

Christoval Suarez de Figueroa - Madrid. 1615 [19].

 

 

Zona izquierda 132 pulgadas			Zona central 64 pulgadas	Zona derecha 44 pulgadas	Incremento de 100 pulgadas	Total en pulgadas	Total en metros
44	44	44	64	44	100	340	7,905

Anchura de la sala donde se pintan Las Meninas más el incremento de 100 pulgadas hasta el punto de fuga K de la Puerta de cuarterones

 

Geometría de la Puerta de 22 cuarterones

        Anteriormente ya hemos analizado los nueve niveles de cuarterones que fugan hacia la jamba derecha; y además observado que la perspectiva de los cuarterones está de acuerdo con una anchura manejable al alcance del pintor.

 

Sin embargo, sí existe un punto de fuga auxiliar para la Puerta de 22 cuarterones, porque la anchura del vano entre las jambas, de 16 pulgadas y 12/15, es el módulo regulador que mide la distancia diez veces hasta el infinito en el punto K.

 

Localización del punto de fuga de la Puerta semiabierta

sistema castellano	valor en unidades	cantidad	total en unidades	operación	total en metros
vara	40,5	4	162	4 x 0,837	3,348
pie	13,5	1	13,5	1 x 0,279	0,279
pulgada	1,125	4	4,5	4 x 0,02325	0,093
			180 unidades		3,72 metros

Desglose de la distancia entre el punto de fuga X del lienzo de Las Meninas y el punto de fuga K de la Puerta de 22 cuarterones.

La distancia entre el punto de fuga principal del lienzo, coordenada del punto X; [18, -12], que se localiza debajo del brazo levantado en diagonal del Aposentador José Nieto, y el punto de fuga auxiliar K del cual tratamos de la Puerta de cuarterones, coordenada; [198, -12], es de 180 unidades.

 

180 unidades / 1,125 unidades por pulgada = 160 pulgadas.

 

En el sistema métrico tendríamos:

 

160 pulgadas x 0,02325 metros la pulgada = 3,72 metros.

La fuga de la perspectiva de la puerta de 22 cuarterones requiere un análisis previo:

Izquierdo			Derecho
Unidades	27,75		24,975	Unidades
Rejilla	24 pulgadas y 10/15		22 pulgadas y 3/15	Rejilla
Proporción	10		9	Proporción

Trazado de la perspectiva de la Puerta de 22 cuarterones

 

27,75 unidades x 3,333333... = 92 pulgadas y 6/12

24,975 unidades x 3,333333... = 83 pulgadas y 3/12

TAMAÑO REAL

 

Como observamos en la ilustración, el espacio de trabajo mide:

 

• 18,9 unidades el ancho de las jambas, es decir; 16 pulgadas y 12/15,

• y la altura del cerco 30 unidades, es decir; 26 pulgadas y 10/15.

 

No quisiéramos remarcar, específicamente, ninguna línea en particular, pero sí comentar que no es necesario un instrumento muy sofisticado para su elaboración; cualquier regla de madera graduada adecuadamente valdría para su construcción.

 

Y se comprueba, pues, que la distancia hasta el punto K equivale a 10 veces el ancho del vano entre estas dos jambas.

 

 

El punto P y el punto j son dos acotaciones obligadas, y dan paso a la lectura de todas las alturas o ordenadas de los 22 cuarterones de la Puerta de madera en su disminución, o perspectiva.

 

P : [ X = 9 ; Y = 0 ]

 

j : [ X = 27,9 ; Y = 0 ]

Coordenadas superiores del cerco de la Puerta

 

Como hemos comentado, 18,9 unidades es el ancho total de las jambas del cerco de la Puerta tal cual fue pintada, aunque si queremos traducir esta cantidad al sistema antiguo castellano sobre la rejilla de medición sólo habrá que dividir 18,9 unidades entre 1,125 unidades por pulgada.

 

Es decir; el resultado son 16,8 pulgadas = 16 pulgadas y 12/15.

 

Cantidad que equivale en el sistema métrico a:

 

16,8 pulgadas x 0,02325 metros por pulgada = 0,3906 metros.

 

• El ancho real en la distancia de las jambas de la Puerta sería:

 

18,9 unidades x 3,333333... pulgadas por unidad = 62,999999... pulgadas.

 

63 pulgadas x 0,02325 metros la pulgada = 1,46475 metros.

 

• Y la altura real en la distancia del cerco de la Puerta sería:

 

30 unidades x 3,333333... pulgadas por unidad = 99,999999... pulgadas.

 

100 pulgadas x 0,02325 metros la pulgada = 2,325 metros.

 

Y de igual modo estudiaremos la estatura del Aposentador:

A la altura de José Nieto le corresponde siete cabezas y media

Proporción	Unidades	Pulgadas	Varas	Tamaño en metros
7 cabezas y media	20,25	20,25 / 1,125 = 18	36 / 2 = 18 = media vara	18 x 0,02325 = 0,4185

Altura del Aposentador en la rejilla de trabajo

Aunque, en su emplazamiento, la altura real del Aposentador dependerá de la distancia a la que se halle del primer plano en Las Meninas.

Tamaño en la distancia	Metros
20,25 x 3,333333... = 67 pulgadas y 6/12	67,5 x 0,02325 = 1,569375
20,25 x 3,444444... = 69 pulgadas y 9/12	69,75 x 0,02325 = 1,6216875
20,25 x 3,555555... = 72 pulgadas	72 x 0,02325 = 1,674

ALTURA REAL DEL APOSENTADOR

Elementos de la Geometría del Aposentador

Tamaño en la distancia	Metros
26,25 x 3,333333... = 87 pulgadas y 6/12	87,5 x 0,02325 = 2,034375
26,25 x 3,444444... = 90 pulgadas y 5/12	90,416666... x 0,02325 = 2,1021875
26,25 x 3,555555... = 93 pulgadas y 4/12	93,333333... x 0,02325 = 2,17

ALTURA DEL APOSENTADOR DESDE LA LÍNEA DE TIERRA

En el fondo y en la forma hemos planteado una necesidad de la belleza; la Proporción, y una Aritmética, ciencia hermana de la racionalidad, como vehículo del conocimiento de lo real.

 

En ese caso, la exhaustiva explicación del engranaje de la Geometría de Las Meninas equivale a Las Meninas.

notas a pie de página

 

 

1 - Página 37 - Luca Pacioli - La Divina proporción - Ediciones Akal, S. A. - 1991. Del manuscrito existente en la Biblioteca Ambrosiana de Milán dedicado al Duque de Milán Ludovico il Moro. Traducción de Juan Calatrava.

2 - En el diccionario: Tesoro de la Lengua Castellana:

Publicado en Madrid en el año 1611 encontramos la palabra KABALA definida en estos términos:

CABALA, es cierta dotrina miſtica entre los Iudios: la qual no ſe eſcriue, ſino que de vno en otro, ſe va conſeruando, tomandola de cabeça, y los que la profeſſan, ſe llaman Cabaliſticos, de la dicha raiz קָבַל in piel קָבַל ſuſcipere, recipere, &c.

DEFINICIÓN

A partir de su origen judaico, la difusión de la Kabala varía de acuerdo a la tradición y los objetivos que persigue, ya que, como herramienta mística, existe una adaptación posterior cristiana y otra ocultista.

3 - Página 122. Theatro Critico Universal. Benito Jerónimo Feijóo. Madrid. M.DCC.LXXIII.

 

4 - A finales del reinado de Felipe II, Juan de Herrera, el arquitecto del Escorial, será el promotor y primer director de la Academia Real Matemática; comenzando su andadura en dependencias de Palacio en Octubre de 1583.

 

Desde 1612, la Academia ejercerá su labor didáctica en casa del Marqués de Leganés, hasta que es clausurada en 1630; fechas en las que aún Diego Velázquez tuvo ocasión de estudiar y practicar sus instrumentos antes de viajar por primera vez a Italia.

 

Don Diego de Messía, Marqués de Leganés, primo carnal del Conde Duque de Olivares, fue tanto el promotor de la conquista por lo exacto, como experto coleccionista de pintura.

 

Según se deduce del inventario de su Segundo mayorazgo, y de acorde a Mary Crawford Volk, en 1642 había en esta colección, al menos, cinco obras de Velázquez:

• El retrato de la Reina de Hungría, hoy en el Museo del Prado,

• uno de Calabazas con turbante,

• otro de Pablillos,

• un autorretrato del propio pintor

• y un San Francisco de Paula con dos compañeros.

Paralelamente, en 1581 María de Austria, hija de Carlos V, al morir su esposo, el emperador Maximiliano, se retiraba a Madrid; y generosa benefactora de los jesuitas en Alemania, lo continuó siendo en la capital de España.

A la muerte de María el pequeño colegio, que la Compañía de Jesús había fundado en 1572, se le denominará Colegio Imperial.

 

En 1624, tras el fallecimiento de Juan Bautista Labaña, el último que quedaba de la fundación de la academia de Madrid, y que había sido profesor de matemáticas de un entonces joven príncipe Felipe, por real decreto, en el Colegio se crearán veintitrés cátedras en Enero de1625.

 

Las materias que impartiría el Colegio incluirían las lenguas clásicas, la historia, la filosofía natural, las matemáticas, las artes militares, políticas y económicas; para, así mismo, interpretar las de Aristóteles, ajustando la razón de estado con la conciencia, religión y fe católica.

El rey se constituía como fundador y patrón de los Estudios Reales, función que había de pasar a sus sucesores.

 

A la postre, el Colegio Imperial, en Febrero de 1629, se haría cargo de la enseñanza de las Matemáticas en la Corte.

 

5 - En esta época, la aplicación de las Matemáticas toma vertientes muy diversas;

• al cálculo mercantil,

• a la fundamentación de la cosmografía,

• a la astrología,

• al arte de navegar,

• al arte militar

• y a la técnica de la construcción.

Sin embargo, era heroico el de algunos practicarla a principios del siglo XVII en el Reino de las Españas, ya que, tal y como afirma el valenciano Miguel Geronimo de Santa Cruz; quien contar no supiese no se le tenía como hombre.

 

Página 54. LIBRO DE ARITHMETICA ESPECULATIVA Y PRACTICA. EL DORADO CONTADOR de Miguel Geronimo de Santa Cruz. Impreso en Sevilla. 1601.

 

6 - En el año 1567, y tras el fracaso del Ordenamiento de Montalvo iniciado por los Reyes Católicos en 1484, Felipe II promulga el Código conocido como Nueva Recopilación de las Leyes de España, mediante el cual intenta acabar con el caos legislativo existente.

Dentro de este Código recopilado por las Cortes de Valladolid y Madrid a partir de 1523; de las Leyes del Fuero Real, las 18 Leyes de Toro, el Ordenamiento de Alcántara y el de Montalvo, se enmarca la pragmática dictada por el propio monarca desde El Escorial el 24 de junio de 1568:

 

Y otroſi, que el paño y lienço y ſayal, y las otras coſas que ſe venden a varas, que ſe vendan por la vara Caſtellana: y en cada vara, que den una pulgada al traues, y que se midan el paño por eſquina: y declaramos que la vara Caſtellana de que ſe ha de vſar en todos eſtos Reynos, ſea la que hay y tiene la ciudad de Burgos.

 

Libro quinto - Titulo XIII. RECOPILACION de las Leyes deſtos Reynos, hecha por mandado de la Mageſtad Catholica del Rey don Philippe Segundo nuestro Señor. Alcala de Henares, en casa de Iuan Iñiguez de Liquerica impreſſor de libros. Año M.D.LXXXI.

 

7 - Página 6 - Tratado general de monedas, pesos, medidas y cambios de todas las naciones, reducidas a las que se usan en España.Tomás Antonio de Marien y Arróspide, Madrid. 1789

 

8 - Uno de los libros más antiguos que hemos estudiado sobre; Aritmética, Álgebra, Trigonometría y otros cálculos, es del año 1688, editado por el Colegio de la Compañía de Jesús de la ciudad de Cádiz.

En este libro se pone a prueba, didácticamente, la eficacia de los números; en los quebrados, en las proporciones..., y su aplicación práctica final trasladada a la Arquitectura Militar.

 

THESES MATHEMATICAS - Defendidas por: El Exmo. Señor Don Iñigo de la Cruz Manrique de Lara Remirez de Arellano Mendoza y Alvarado, Conde de Aguilar, Señor de los Cameros, Marqués de la Hinojoſa, Conde de Uillamor, Señor del Eſtado de Andaluz, y Mayalde, y de la Caſa de Carrillo en el Reyno de Nauarra, &c. - Cadiz - Año 1688 - XXII de Junio.

 

9 - La opinión del maestro de Velázquez, Francisco Pacheco, nos parece el mejor ejemplo, y explica:

 

El modo de ver ſe haze mediante la luz, en forma de Piramide, formada de los rayos viſuales que proceden de la viſta, donde es la punta de la piramide, i por eſtos rayos los ſimulacros e imagines de las coſas viſibles ſe imprimen en la potencia viſiva. La coſa viſta cuya imagen ſe repreſenta, viene a ſer la baſa deſta piramide, i aſsi forçoſſamente a de ſer de cantidad ſenſible, reſpeto de la ſuperficie del ver. La diſtancia entre la viſta, i lo que ſe vè a de ſer proporcionada, i conveniente, porque ſiendo mui remota, o mui propincua, las coſas viſibles no pueden ſer comprehendidas de la viſta, ni repreſentadas en la pintura. I aſsi la diſtancia a de correſponder a la viſta, con cierta razon i proporción de Angulos; porque la grandeza de las coſas que vemos tanto parece mayor, o menor, cuanto de mayor, o menor angulo viene a ſer comprehendida de la viſta. I eſta grandeza de los angulos viſuales se altera mudandose la diſtancia, i ſe viene a variar el aſpecto. I por eſta cauſa ſe a de tener entera noticia de la figura i cantidad que tienen los cuerpos en ſu propia forma, para ſaber los que diminuyen, i ſe acortan a la viſta, por la diſtancia, i variedad de los angulos.

 

La pirámide visual de las distintas proporciones de la pared del fondo de Las Meninas parte del punto de fuga, pero su trazado está basado en el Primer Teorema de Thales de Mileto.   Thales vivió hacia el año 600 a. c., y, por ser el más antiguo de los Siete Sabios de Grecia, habría que considerarle el abuelo de la Geometría.   Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario determinar que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí.   Primer teorema:           Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

 

Primera Tabla

 

Formatos en base al tamaño de la anchura de 72 unidades de la pared del fondo:

 

formato	proporción		escala		unidades		pulgadas	metros
La anchura de la Habitación del Príncipe mide 5,58 metros
30	30/9	=	3,333.333	x	72	=	240	30 x 8 x 0,02325 = 5,58
29	29/9	=	3,222.222	x	72	=	232	29 x 8 x 0,02325 = 5,394
28	28/9	=	3,111.111	x	72	=	224	28 x 8 x 0,02325 = 5,208
27	27/9	=	2,999.999	x	72	=	216	27 x 8 x 0,02325 = 5,022
26	26/9	=	2,888.888	x	72	=	208	26 x 8 x 0,02325 = 4,836
25	25/9	=	2,777.777	x	72	=	200	25 x 8 x 0,02325 = 4,65
24	24/9	=	2,666.666	x	72	=	192	24 x 8 x 0,02325 = 4,464
23	23/9	=	2,555.555	x	72	=	184	23 x 8 x 0,02325 = 4,278
22	22/9	=	2,444.444	x	72	=	176	22 x 8 x 0,02325 = 4,092
21	21/9	=	2,333.333	x	72	=	168	21 x 8 x 0,02325 = 3,906
20	20/9	=	2,222.222	x	72	=	160	20 x 8 x 0,02325 = 3,72
19	19/9	=	2,111.111	x	72	=	152	19 x 8 x 0,02325 = 3,534
18	18/9	=	1,999.999	x	72	=	144	18 x 8 x 0,02325 = 3,348
17	17/9	=	1,888.888	x	72	=	136	17 x 8 x 0,02325 = 3,162
16	16/9	=	1,777.777	x	72	=	128	16 x 8 x 0,02325 = 2,976
15	15/9	=	1,666.666	x	72	=	120	15 x 8 x 0,02325 = 2,79
14	14/9	=	1,555.555	x	72	=	112	14 x 8 x 0,02325 = 2,604
13	13/9	=	1,444.444	x	72	=	104	13 x 8 x 0,02325 = 2,418
12	12/9	=	1,333.333	x	72	=	96	12 x 8 x 0,02325 = 2,232
11	11/9	=	1,222.222	x	72	=	88	11 x 8 x 0,02325 = 2,046
10	10/9	=	1,111.111	x	72	=	80	10 x 8 x 0,02325 = 1,86
9	9/9	=	0,999.999	x	72	=	72	9 x 8 x 0,02325 = 1,674
La anchura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,488 metros
8	8/9	=	0,888.888	x	72	=	64	8 x 8 x 0,02325 = 1,488
7	7/9	=	0,777.777	x	72	=	56	7 x 8 x 0,02325 = 1,302
6	6/9	=	0,666.666	x	72	=	48	6 x 8 x 0,02325 = 1,116
5	5/9	=	0,555.555	x	72	=	40	5 x 8 x 0,02325 = 0,93
4	4/9	=	0,444.444	x	72	=	32	4 x 8 x 0,02325 = 0,744
3	3/9	=	0,333.333	x	72	=	24	3 x 8 x 0,02325 = 0,558
2	2/9	=	0,222.222	x	72	=	16	2 x 8 x 0,02325 = 0,372
1	1/9	=	0,111.111	x	72	=	8	1 x 8 x 0,02325 = 0,186
0	0/9	=	0,000.000	x	72	=	0	0 x 8 x 0,02325 = 0

Tabla del formato de la anchura de la pared del fondo

 

Formatos en unidades de la pared del fondo de Las Meninas

 

Segunda Tabla

 

Formatos en base al tamaño de la altura de 59,4 unidades de la pared del fondo:

 

formato	proporción		escala		unidades		pulgadas	metros
La altura de la Habitación del Príncipe mide 4,65 metros
30	30/9	=	3,333.333	x	60	=	200	30 x 6,666 x 0,02325 = 4,65
29	29/9	=	3,222.222	x	60	=	193 y 1/3	29 x 6,666 x 0,02325 = 4,495
28	28/9	=	3,111.111	x	60	=	186 y 2/3	28 x 6,666 x 0,02325 = 4,34
27	27/9	=	2,999.999	x	60	=	180	27 x 6,666 x 0,02325 = 4,185
26	26/9	=	2,888.888	x	60	=	173 y 1/3	26 x 6,666 x 0,02325 = 4,03
25	25/9	=	2,777.777	x	60	=	166 y 2/3	25 x 6,666 x 0,02325 = 3,875
24	24/9	=	2,666.666	x	60	=	160	24 x 6,666 x 0,02325 = 3,72
23	23/9	=	2,555.555	x	60	=	153 y 1/3	23 x 6,666 x 0,02325 = 3,565
22	22/9	=	2,444.444	x	60	=	146 y 2/3	22 x 6,666 x 0,02325 = 3,41
21	21/9	=	2,333.333	x	60	=	140	21 x 6,666 x 0,02325 = 3,255
20	20/9	=	2,222.222	x	60	=	133 y 1/3	20 x 6,666 x 0,02325 = 3,1
19	19/9	=	2,111.111	x	60	=	126 y 2/3	19 x 6,666 x 0,02325 = 2,945
18	18/9	=	1,999.999	x	60	=	120	18 x 6,666 x 0,02325 = 2,79
17	17/9	=	1,888.888	x	60	=	113 y 1/3	17 x 6,666 x 0,02325 = 2,635
16	16/9	=	1,777.777	x	60	=	106 y 2/3	16 x 6,666 x 0,02325 = 2,48
15	15/9	=	1,666.666	x	60	=	100	15 x 6,666 x 0,02325 = 2,325
14	14/9	=	1,555.555	x	60	=	93 y 1/3	14 x 6,666 x 0,02325 = 2,17
13	13/9	=	1,444.444	x	60	=	86 y 2/3	13 x 6,666 x 0,02325 = 2,015
12	12/9	=	1,333.333	x	60	=	80	12 x 6,666 x 0,02325 = 1,86
11	11/9	=	1,222.222	x	60	=	73 y 1/3	11 x 6,666 x 0,02325 = 1,705
10	10/9	=	1,111.111	x	60	=	66 y 2/3	10 x 6,666 x 0,02325 = 1,55
9	9/9	=	0,999.999	x	60	=	60	9 x 6,666 x 0,02325 = 1,395
La altura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,24 metros
8	8/9	=	0,888.888	x	60	=	53 y 1/3	8 x 6,666 x 0,02325 = 1,24
7	7/9	=	0,777.777	x	60	=	46 y 2/3	7 x 6,666 x 0,02325 = 1,085
6	6/9	=	0,666.666	x	60	=	40	6 x 6,666 x 0,02325 = 0,93
5	5/9	=	0,555.555	x	60	=	33 y 1/3	5 x 6,666 x 0,02325 = 0,775
4	4/9	=	0,444.444	x	60	=	26 y 2/3	4 x 6,666 x 0,02325 = 0,62
3	3/9	=	0,333.333	x	60	=	20	3 x 6,666 x 0,02325 = 0,465
2	2/9	=	0,222.222	x	60	=	13 y 1/3	2 x 6,666 x 0,02325 = 0,31
1	1/9	=	0,111.111	x	60	=	6 y 2/3	1 x 6,666 x 0,02325 = 0,155
0	0/9	=	0,000.000	x	60	=	0	0 x 6,666 x 0,02325 = 0

Tabla del formato de la altura de la pared del fondo

10 - LA OPERAZIONE DEL COMPASSO GEOMETRICO ET MILITARE DI GALILEO GALILEI. PADOVA, M.DC.XL.

11 - IL COMPASSO. Con Altri Istromenti Mathematici. Fabritio Mordente. Anversa. M. D. LXXXIIII.

12 - En el Inventario del 11 de Agosto de 1660 de los bienes de Velázquez se especifica, en el apartado 31- 32, dos compases de bronce.

 

Página 304 - Velázquez. Homenaje en el centenario de su muerte. Instituto Diego Velázquez. Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Madrid, 1960.

13 - Página 349 - I DIECI LIBRI DELL´ARCHITETTURA DI M. VITRVVIO. Tradotti & commentati da Monſ. Daniel Barbaro eletto Patriarca d´Aquileia, da lui riueduti & amplati; & hora in piu commoda forma ridotti. In Venetia, MDLXVII.

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Libro IX – Cap. II.

 

Della ſquadra inuentione di Pitagora per formare l´angulo giusto.

Pitagora ſimilmente dimoſtrò la ſquadra ritrouata ſenza opera di artefice alcuno, & fece chiato con quanto grande fatica i fabri facendola, a pena la poſſono al giuſto ridurre. Queſta coſta con ragioni, & uie emendata, da ſuoi precetti ſi manifeſta: perque ſe egli ſi prenderà tre regole, una di piedi tre, l´altra di quattro, la terza di cinque, & queſte regole compoſte ſiano, che con i capi ſi tocchino inſieme facendo una figura triangulare, condurranno la ſquadra giuſta.

14 - Página 95 - Tratado de Geometria Practica y Speculatiua. Iuan Perez de Moya. Alcala. M. D. LXX. III.

 

Escribe el español Iuan Perez de Moya:

De otro modo podras prouar ſi es vna eſquadra perfecta. Abre el compas en vna quantidad conueniente, y contando en el vn lado, ò linea de la eſquadra (començando del punto a.) tres tamaños ſemejantes à la diſtancia de la abertura del compas, como en la linea a. c. de la ſiguiente figura denotan las letras d. e. f.   Luego toma en el otro lado, ò linea a. b. quatro tamaños ſemejantes à eſtos como denota g. h. i. k. Saca agora vna linea recta deſde el punto f. haſta el punto k. y ſi eſta linea tuuiere cinco tamaños ſemejantes a los tres que tomaſte en el lado a. c. ò a los quatro del lado a. b. la tal eſquadra ſera verdadera, y ſi ay menos, o mas tamaños de cinco eſtara falſa, como ſe prueua por la penultima del primero de Euclides. Porque ſi el angulo a. es recto, el quadrado de la linea a. f. y a. k. ha de ſer ygual al quadrado de la linea f. k. que es lado opueſto al dicho angulo recto, pues ſi el lado a. f. tiene tres tamaños, y en el a. k. tiene quatro, la ſumma de los quadrados deſtos numeros 3. y 4. es 25. Luego el otro lado f. k. es neceſſario que tenga cinco tamaños, para que ſu quadrado haga veynte y cinco, que es lo que haze la ſumma de los quadrados de los otros lados que comprehenden el angulo recto. Ha ſe dicho eſto aquí porque como con eſte inſtrumento ſe ha de moſtrar medir diſtancias, es bien ſaberle hazer.

15 - Libro I - Theorema. 2. - Propoſition. 5.

Los angulos de los triángulos yſoſceles que eſtan ſobre la baſis ſon entreſi yguales. Y eſtendidas las lineas rectas yguales, ſeran tambien yguales entreſi los angulos que eſtan debajo de la baſis.

Sea el triangulo yſoſceles .ABC. que tenga el lado .AB ygual al lado .AC. y eſtiendanſe derechamente (por la ſecunda peticion) las lineas .BD. .CE a las lineas .AB. .AC. digo que el angulo .ABC. es ygual al ACB. y el angulo .CBD. al angulo .BCE. Tomeſe en la linea .BD. vn punto a caſo y ſea .Z. y corteſe de la linea .AE. mayor (por la tercera propoſicion) vna ygual a la .AZ. menor y ſea .AI. y juntenſe .ZC. y .IB. y porque .AZ. a la .AI. y .AB. a la .AC. ſon yguales, luego las dos .ZA. .AC. ſon yguales a las dos .IA. .AB. la vſna a la otra, y cierran el angulo comun que es contenido debajo de .ZAI. luego la baſis .ZC. es (por la .4. propoſicion) ygual a la baſis .IB. y el triangulo .AZC. ſera ygual al triangulo .AIB. y los demas angulos a los demas angulos el vno al otro ſeran yguales, debajo de los quales ſe eſtienden yguales lados, eſto es el angulo .ACZ. al angulo .ABI. y el angulo AZC. al angulo AIB. y porque toda la .AZ es ygual a toda la .AI de las quales la linea .AB. es ygual a la linea .AC luego la que reſta .BZ. es ygual (por la .3. comun ſentencia) a la .CI. que reſta. Y eſta demoſtrado que .ZC es ygual a la misma .BI. luego las dos .BZ. ZC. ſon yguales a las dos .CI .IB. la vna a la otra, y el angulo .BZC. es ygual al angulo .CIB. (por la .4. propoſicion) y la .BC. es baſis comun, luego el triangulo .BZC ſera ygual al triangulo .CIB. y los demas angulos a los demas angulos el vno al otro ſeran tambien yguales debaxo de los quales ſe eſtienden yguales lados (por la misma) luego el angulo .ZBC. es ygual al angulo .ICB. y el angulo .BCZ. al angulo .CBI. ſon yguales. Pues porque todo el angulo .ABI. como eſta demoſtrado es ygual a todo el angulo .ACZ. de los quales .CBI. es ygual al angulo .BCZ luego el angulo .ABC. que reſta es ygual (por la .3. comun ſentencia) al angulo reſtante .ACB. y ſon ſobre la baſis del triangulo .ABC. pero eſta demoſtrado, que el angulo .ZBC. es ygual al angulo .ICB. y eſta debaxo de la baſis. Luego de los triangulos yſoſceles los angulos que eſtan ſobre la baſis ſon yguales entre ſi, y eſtentidas las lineas rectas yguales ſeran tambien yguales entre ſi los angulos que eſtan debaxo de la baſis lo qual ſe auia de demoſtrar.

Demostración

LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Rodrigo Çamorano. Seuilla. 1576.

16 - La escala es la relación proporcional entre la dimensión real de un objeto y las de este mismo objeto representado sobre un plano.

Siempre que el Arquiteto quiere hazer vna traça, lo primero que haze antes que la comience, es hazer el pitipie: y porque aura muchos, que no ſepan que cosa es pitipie, pongo aqui ſu declaracion. El pitipie es nombre Frances, que peti en Frances quiere dezir pequeño, ò chico, y aſsi es lo meſmo dezir en nuestra lengua Caſtellana pequeño pie, como en Frances pitipie, y por eſto ſe entendera, que eſte pequeño pie es ſemejança del pie grande, aduirtiendo que tres pies de los grandes, ſon una vara Caſtellana, y quando ſe mide las fabricas ſe entiende yr medidas debaxo de que tres pies hazen la dicha vara, y con eſta proporcion ſe hace el pitipie, el qual ſirve para hazer las traças y modelos, y va hecho con proporcion del tamaño que ha de tener la fabrica grande, porque aunque ſea la traça no mayor que vn real de à ocho, como vaya repartida con ſu pitipie, ſe entendera por ella la grandeza que ha de tener, pueſta en execucion: porque ſe conſideran aquellas pequeñas medidas reſpeto de las grandes hechas con el gran pie, y aſsi meſmo à este pitipie le llaman muchos eſcala.

Página 36 - Teorica y Practica de fortificacion. Chriſtoual de Rojas. Madrid, 1598.

17 - Se atribuyen a Tales de Mileto varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides:

• La definición: I. 17.

• Y las proposiciones: I. 5 - I. 15 - I. 26 - III. 31.

Libro III - Theorema. 27. - Propoſition. 31.

En el circulo, el angulo que eſta en el medio circulo es recto, y el que eſta en el ſegmento mayor, es menor que recto, y el que en el menor ſegmento, es mayor que recto. Y de mas de eſto el angulo del mayor ſegmento es mayor que recto; y el angulo del menor ſegmento es menor que recto.

LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Traduzidos en lengua Eſpañola por Rodrigo Çamorano Aſtrologo y Mathematico, y Cathedratico de Coſmografia por ſu Mageſtad en la caſa de la Contratacion de Seuilla. Dirigidos al illuſtre ſeñor Luciano de Negron, Canonigo de la ſancta ygleſia de Seuilla. Con licencia del Conſejo Real. En Seuilla en caſa de Alonſo de la Barrera. 1576.

 

18 - Libro I - Theorema. 33. - Propoſitio. 47.

 

En los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho de el lado que eſta opueſto al angulo recto es ygual a los dos quadrados que ſon hechos de los lados que contienen el angulo recto.

 

Sea el triangulo rectangulo .ABC. que tenga recto el angulo BAC. digo que el quadrado que es hecho del lado .EC. es ygual a los quadrados que ſe hazen de .BA. y de .AC. Deſcribaſe, por la .46. de la .BC. el quadrado .BDCE, y por la miſma, de la BA. y de la, AC. los quadrados .ABZI. ACKT. y por el punto A. tireſe .AL. parallela con la .BD. CE, por la propoſicion .31, y por la .I. peticion tireſe AD. CZ. y porque los angulos. BAC. BAI. ſon rectos. Luego tiradas dos lineas rectas .AC. AI. deſde vna linea recta .AB. y deſde vn punto en ella .A. no hacia vnas miſmas partes hacen de vna y otra parte angulos yguales a dos rectos por la .14. propoſition, luego en derecho eſta la .AC. de la .AI y por eſto tambien BA eſta en derecho de .AT y porque el angulo .DBC. es ygual al angulo .ZBA. porque cada vno dellos es recto; pongaſe comun el angulo ABC. Luego todo DBA es ygual a todo el angulo ZBC. y porque las dos .AB. BD. ſon yguales a las dos BZ. BC. la vna a la otra, y el angulo .DBA es ygual al angulo .ZBC. luego la baſis .AD, por la .4. propoſicion, es ygual a la baſis .ZC. y el triangulo .ABD. al triangulo .ZBC. es tambien igual. Y el parallelogramo .BL, por la 41, es doblo del triangulo .ABD. porque tiene vna miſma baſis que es .BD. y esta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .DB. AL. y tambien el quadrado .IB. por la miſma, es doblo del triangulo .ZBC. porque tiene la miſma baſis que es .BZ. y eſta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .ZB. IC. y las coſas que ſon doblo de coſas yguales, por la .6. comun ſentencia, entre ſi ſon yguales. Luego el parallelogramo .BL. es ygual al quadrado .IB Semejantemente ſi por .I. peticion, ſe tiran .AE BK. ſe demoſtrara el parallelogramo CL. ſer ygual al quadrado .TC. Luego todo el quadrado .BDEC, es ygual a los dos quadrados .IB, TC. Y el quadrado .BDEC. es hecho de la .BC. y los quadrados IB. CT. ſon hechos de la .BA. AC. Luego el quadrado que de el lado .BC. ſe hizo es ygual a los quadrados que ſon hechos de los lados .BA. AC. luego en los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho del lado que eſta oppueſto al angulo recto y lo que mas ſe ſigue como en el theorema, que ſe hauia de demoſtrar.

 

DEMOSTRACIÓN

 

LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Traduzidos en lengua Eſpañola por Rodrigo Çamorano Aſtrologo y Mathematico, y Cathedratico de Coſmografia por ſu Mageſtad en la caſa de la Contratacion de Seuilla. Dirigidos al illuſtre ſeñor Luciano de Negron, Canonigo de la ſancta ygleſia de Seuilla. Con licencia del Conſejo Real. En Seuilla en caſa de Alonſo de la Barrera. 1576.

 

19 - Página 86 - DISCVRSO XCIIII. DE LOS ARQUITECTOS EN vniverſal, Fortificadores de Fuerças, y maeſtros de maquinas, o Ingenieros. Plaza Vniuersal de todas Ciencias y Artes - Christoval Suarez de Figueroa - Madrid. 1615.

 

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